tangente e cotangente, denotate con tan(α) e cot(α), sono due funzioni trigonometriche definite dal seno e dal coseno di un angolo del cerchio trigonometrico e che associano un numero reale a ciascun angolo.
In questa lezione ne parleremo. Tangente e cotangente di un angolo, che danno e spiegano le definizioni e quindi elencano le qualità di cui godono questi duefunzioni trigonometrichee visualizzare la grafica.
LuiDefinizioni di tangente e cotangenteè dato dal cerchio trigonometrico e sfruttando gli aspetti grafici e geometrici delle definizioni, si ottiene l'espressione analitica della tangente e della cotangente in funzione diseno e coseno.
Rappresentazione e definizione di tangente e cotangente
IniziamoDefinizione di tangente e cotangentee prima disegna aCantoUNportata del trasportatorefar coincidere il vertice dell'angolo con il punto medio del cerchio e il suo primo lato con il semiasse positivo dell'ascissa:
Definizione della tangente di un angolo
Dato l'angolo α nella circonferenza trigonometrica, si consideri la retta t tangente alla circonferenza nel punto S(1,0) e sia T il punto di intersezione di tale retta con il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento).
Come possiamo vedere nell'immagine sottostante, se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel quarto quadrante, cioè se 0≤α<90° o 270°<α≤360°, allora è esattamente il secondo lato dell'angolo di intersezione della retta t. Se invece il secondo lato dell'angolo è nel secondo o terzo quadrante, cioè 90° < α < 270°, allora la sua estensione incontra la retta t.
è definitotangente all'angolo αl'ordinata del punto T data dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la tangente alla circonferenza nel punto (1,0). Nelle formule:
Come si può vedere nella figura sopra, il secondo lato dell'angolo α cade sulbello da, cioè se α = 90° o α = 270°, allora questo lato è parallelo alla retta t e, quindi, non c'è punto di intersezione tra questa retta e il lato dell'angolo. Come avremo modo di approfondire più avanti nella lezione, non sono definiti valori tangenti per α=90° e per α=270°.
Definizione di tangente con seno e coseno
Possiamo definire o in modo del tutto analogo e partendo sempre dal cerchio trigonometricoTangente di un angolo come rapporto tra seno e cosenolo stesso angolo. Nelle formule:
Per capire da dove deriva la relazione di cui sopra, tracciamo ancora un angolo α (con α≠90° e α≠270°) sulla circonferenza trigonometrica e sia t la tangente alla circonferenza nel punto S(1,0).
Con P indichiamo il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la circonferenza, e con T il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta t. Infine chiamiamo Q e Rproiezionidel punto P sugli assi delle coordinate.
Sappiamo
Ora vediamo entrambitriangolidai leader ORP e OST:
Sonotriangoli simili, infatti, tutti e tre gli angoli sono uguali:
- l'angolo α è comune,
- entrambi sonotriangoli rettangoli;
- morireSomma degli angoli interni di un triangoloè di 180°, quindi anche i restanti due angoli sono uguali.
In particolare, i lati di triangoli simili sono perfettamente inseriti.Parte, allora vale la seguente relazione:
Scopri quale sistema operativoraggio del cerchioe se ricordiamo che il perimetro ha un raggio uniforme, abbiamo
o
e qui abbiamo la definizione di tangente con seno e coseno. :)
Definizione della cotangente di un angolo
di nuovo per daredefinizione di cotangente, partiamo da un angolo α sulla circonferenza trigonometrica, ma questa volta consideriamo la retta c tangente alla circonferenza nel punto A(0,1). Sia C il punto di intersezione tra questa linea e il secondo lato dell'angolo (o la sua estensione).
Nell'immagine seguente possiamo vedere che se il secondo lato dell'angolo α cade nel primo o nel secondo quadrante, cioè 0 < α < 180°, allora è proprio il secondo lato dell'angolo che interseca la retta c. Se invece il secondo lato dell'angolo è nel terzo o nel quarto quadrante, i. h se 180° < α < 360° allora la sua estensione incontra la retta c.
è definitocotangente dell'angolo αl'ascissa del punto C data dall'intersezione tra il secondo lato dell'angolo (o il suo prolungamento) e la tangente al cerchio nel punto (0,1), cioè
Dovrebbe essere verificato immediatamente se il secondo lato dell'angolo α cade sumadre x, cioè se α = 0° = 360° o α = 180°, allora non c'è punto di intersezione tra la retta ce il secondo lato dell'angolo. Pertanto, non sono definiti valori di cotangente per α=0° (o per α=360°) e per α=180°.
Definizione di cotangenti con seno e coseno
Come dimostreremo in seguito, ilLa cotangente di un angolo è il rapporto tra coseno e senolo stesso angolo. Nelle formule:
Tracciamo un angolo α sul cerchio trigonometrico, con α≠180° e α≠360°, e sia c la tangente al cerchio nel punto A(0,1).
Chiamiamo P il punto di intersezione tra il secondo lato e il perimetro, C il punto di intersezione tra il secondo lato dell'angolo e la retta c, Q e R le proiezioni del punto P sugli assi y e x.
Consideriamo ora due triangoli rettangoli con vertici OAC e OQP, che sono simili perché tutti e tre gli angoli sono congruenti. Pertanto, possiamo scrivere la seguente relazione tra facce omologhe:
Ora:
Sostituendo nella relazione di cui sopra, otteniamo
Questa è esattamente la definizione di cotangente come rapporto tra coseno e seno.
Valori principali di tangente e cotangente
Non c'è bisogno di memorizzare ivalori tangenti e cotangenti notevoli. Grazie alle definizioni che abbiamo appena dato
derivareTangente e cotangente di angoli significativiBasta ricordare i valori seno e coseno corrispondenti a questi angoli.
Esempio
Se α=π/6, sapendo che ilseno di 301/2 valore e che ilcoseno di 30√3/2, si ottiene subito il valore della tangente e cotangente di 30 gradi:
In ogni caso, la tabella seguente mostra i valori di seno, coseno, tangente e cotangente per gli angoli principali espressi in entrambiLaureatocosa dentroRadiante.
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Se sei interessato alla tabella completa del mainvalori delle funzioni trigonometriche- clicca!
Perché tangente e cotangente non sono definite per certi angoli?
Come abbiamo già commentato e avrete notato nella tabella precedente, per alcuni angoliil valore tangente e cotangente non è definito.
Il motivo è ovvio: le definizioni di tangente e cotangente si basano su relazioni
e sappiamo benissimo che non può essere diviso per zero. Pertanto, la tangente e la cotangente non sono definite per i valori dell'angolo α, che annullano il rispettivo denominatore.
In particolare, poiché il coseno di un angolo α scompare a
allora la tangente di α è indefinita per tali valori angolari, cioè
Poiché il seno di un angolo α scompare aa quel tempo
Per saperne di più:Tangente di 90 gradi- clicca!
Le funzioni tangente e cotangente
Le informazioni raccolte finora sono il punto di partenza per farlo.disegnare il graficoda entrambiFunzioni tangenti e cotangenti. Facciamo un piccolo riassunto:
UN)La funzione tangente non è definita per, è mortoDominioè la funzione tangente
Mentre la funzione cotangente ha il dominio
Entrambe le funzioni hannoImmagineil setdi numeri reali.
B)chi mi conosceLimiti(soggetto della quinta elementare) lo saprà
C)Dato un angolo α compreso tra 0 e 2π, se a questo angolo aggiungiamo o sottraiamo π, otteniamo un nuovo angolo la cui tangente e cotangente sono uguali a quelle dell'angolo α. In simboli scriveremo
Da ciò deduciamo che le funzioni sono tangenti e cotangentifunzioni periodichedel periodo π.
Certo, quelli che iniziano i loro studiTrigonometriapuoi e dovresti prendere questi grafici per sempre e usarli come banco di prova per leggere informazioni analitiche. Invece un buon esercizio è semplicemente quello di riconoscere tutte le proprietà elencate, partendo dalla definizione, guardando il grafico.
grafico della funzione tangente
Per ulteriori informazioni su tutte le proprietà analitiche delfunzione tangente- clicca!
Grafico della funzione cotangente
Per saperne di più sulle varie proprietà analitiche della funzioneKotangens- clicca!
Questo è davvero tutto! Se necessario, puoi trovare molti esercizi eseguiti e spiegati qui su YouMath, basta usare la barra di ricerca integrata. ;)
Buona continuazione su YouMath,
Giuseppe Carichino (Galois)
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